Необходимо было предложить наиболее простой способ измерения высоты (с ошибкой не более 10%) Главного здания МГУ на Воробьевых горах (или любого другого высотного здания если никогда не видели ГЗ), а также наибольшее число способов измерения высоты здания, основанных на разных физических принципах. Кроме того, требовалось сопоставить точность разных методов.

Доктор физико-математических наук, главный специалист Отделения физических наук Российской академии наук Андрей Михайлович Романов прокомментировал правильные ответы на данный вопрос.

Все способы измерения высоты здания подразделяются на физические и геометрические. В качестве наиболее простого геометрического способа участниками предлагался следующий: измерить высоту одного этажа и умножить на количество этажей, однако гарантии того, что высота всех этажей одинакова нет, более того в ГЗ она точно разная. Кроме того, Главное Здание – не прямоугольный небоскреб, а пирамида сложной формы, значительная часть которой вовсе не имеет этажей. Имеются разного рода «внеэтажные» вставки, верхний шпиль. Поэтому только при условии высокой аккуратности в визуальных измерениях, можно, наверное определить данным способом высоту «равномерно-этажной» части здания и сопоставить ее с остальной и при этом не выйти за пределы заданной точности.

Более распространенным способом является метод подобных треугольников, с помощью которого еще Фалес, по преданию, измерил высоту египетских пирамид. Само подобие треугольников обеспечивается либо единой линией визирования на вершину шпиля и предмет известной высоты, либо по линии тени от Солнца. Как известно, для определения искомой высоты в большом треугольнике достаточно измерить основания в малом и большом треугольниках, а затем взять пропорцию относительно известной высоты малого треугольника. Таким образом, метод классический и общепринятый, однако возникает вопрос как же измерить длину основания большого треугольника, ведь центральная точка основания – место, куда проецируется вершина, является недоступной.

В то же самое время если просто измерить расстояние до ближайшей стены ГЗ, то это обусловит наличие ошибки, поскольку вершина здания находится не только выше, но и дальше. Одним из возможных вариантов является метод параллельного переноса измеряемого расстояния от ближайшей стенки до центра здания вбок от линии визирования, например, на параллельную улицу.

К другим методам относится метод треугольников на разном удалении, который применяется, когда нельзя измерить расстояния до основания объекта непосредственно. Нетрудно заметить, что угол возвышения любого объекта уменьшается по мере нашего удаления от него. Таким образом, если измерить сначала угол возвышения шпиля ГЗ МГУ вблизи здания (но не подходя к нему вплотную), а затем – на большем удалении, и не забыть измерить то расстояние, на которое нам пришлось при этом «отодвинуться», то из системы двух треугольников с одной и той же высотой, но разными длинами, нетрудно получить формулу для искомой общей высоты. Данный метод вполне точен, хотя простым его, пожалуй, не назовешь.

Близким по смыслу к рассмотренному является и метод горизонтальных параллаксов, тем более, что в астрономии метод параллаксов является основным методом измерения расстояний. Перемещаясь перпендикулярно направлению на интересующий нас объект, можно измерить, как меняется величина угла направления на него в зависимости от пройденного расстояния. Из треугольника, образованного двумя крайними положениями наблюдателя и верхней точкой здания, можно определить расстояние до нее по наклонной плоскости. А затем, измерив угол возвышения, наклонное расстояние уже можно перевести в высоту всего здания.

Очень близок к методу параллаксов и «чисто астрономический» метод определения высоты здания по суточному движению светил. Состоит он вкратце в следующем: если от высокого здания отойти на достаточное расстояние к северу, то светила в южной стороне неба, очевидно, будут двигаться на фоне здания с востока на запад почти горизонтально. Суточное движение светил, видимое нами, отражает, как известно, собственное вращение Земли вокруг своей оси со скоростью 1 оборот за 24 часа. Можно найти (подобрать) такую точку на горизонтальной поверхности, что какое-нибудь светило (яркая звезда или планета) окажутся точно на линии, соединяющей наблюдателя и верхний конец шпиля здания. Тогда, двигаясь по поверхности земли на восток, можно так подобрать скорость своего «вышагивания», что выбранная нами звезда будет постоянно визуально совмещена со шпилем. Наше перемещение на восток в данном случае будет вполне аналогично нашему «суточному вращению» вокруг верхнего конца шпиля здания. Соответственно, измерив скорость такого перемещения, нетрудно определить радиус нашей «суточной орбиты», т. е. расстояние до верхушки шпиля (а по нему и по углу возвышения шпиля над горизонтом – и искомую высоту здания). Данный метод «по звездам» более точен для светил, выбранных около небесного экватора, т. к. звезды на высоких склонениях движутся тем медленнее, чем они ближе к полюсу мира. Кроме этого, при вычислениях по Солнцу нужно брать продолжительность солнечных суток (24 часа), по звездам – звездных суток (23 ч 56 мин), а при использовании Луны нужно учитывать ее собственное движение.

Последним геометрическим способом измерения высоты здания является измерение величины понижения видимого горизонта при поднятии наблюдателя на большую высоту. Очевидно, однако, что измеряемый эффект ввиду огромных размеров земного шара очень мал, и данный метод никак нельзя назвать простым. Не думаю, чтобы кто-нибудь из учащихся смог бы реализовать такие измерения с требуемой по условиям задачи точностью.

Из физических методов наиболее общеизвестным является способ, использующий свободное падение предметов и позволяющий вычислить высоту падения по времени полета. Однако, помимо учета сопротивления воздуха (на таких высотах и скоростях падения оно будет уже оказывать существенное влияние на измерения), о котором упоминали немногие, самым главным препятствием для «бросания камушков с крыши» будет опять-таки факт «неудобной» формы здания и недоступности самой верхней точки шпиля для нашего с Вами ее непосредственного посещения. Ведь если кто-то хочет измерить высоту падения по времени падения, то «ронять» камушек во избежание ошибок нужно с нулевой начальной скоростью. Со шпиля МГУ в таком случае до земли ни один «камушек» не долетит, а потеряется по пути где-то на промежуточных крышах. Некоторые участники Турнира предлагали со шпиля построить такой балкончик, чтобы он выступал за периметр всего здания, – ну это уж совсем маниловщина!

Отчасти преодолеть данное противоречие (недоступность центральной точки) можно, переведя процесс падения в процесс подбрасывания. Дело в том, что как раз недалеко от ГЗ МГУ в некоторые дни действительно случается «подбрасывание» предметов на высоту, даже несколько превышающую общую высоту всего здания. Во время государственных праздников минометы специального типа (именуемые также «салютницы») выстреливают вверх заряды фейерверка. Если установить (по техническим параметрам миномета) скорость выстреливания заряда, то можно рассчитать высоту верхней точки его полета, а затем сравнивая залпы салюта со зданием ГЗ, прикинуть и его высоту. К сожалению, от этого метода трудно ожидать высокую точность результата.

Некоторые участники для измерения высоты здания предлагали использовать равномерное вертикальное движение. Многие упоминали лифт. В принципе такой подход также возможен, если известна скорость движения кабины лифта. Однако, во-первых, нужно помнить, что ни один лифт от земли до верхушки шпиля все равно не ходит. Соответственно, это возвращает нас к методу измерения высоты здания «по частям». Во-вторых, движение скоростных лифтов на самом деле всегда очень неравномерное: они должны плавно разгоняться вначале и тормозиться в конце движения, а учесть эти эффекты аккуратно достаточно сложно.

Ряд школьников предлагал для реализации равномерного вертикального движения запустить рядом со зданием воздушный шарик и засечь время его подъема до уровня шпиля. Нужно только независимо и достаточно точно измерить скорость подъема такого шарика и быть уверенным, что во время полета его не сдует в сторону какой-нибудь шальной порыв ветра (а около высоких зданий всегда ветрено).

Еще можно высоту подъема определить по барометрической формуле – так, как определяют высоту своего полета на всех самолетах. Поскольку давление воздуха с высотой уменьшается по известному закону, то имея в руках барометр (на самолетах – альтиметр) и попав каким-либо образом (хотя и не понятно, каким) на верхушку шпиля, можно вычислить, на какую высоту относительно земли мы при этом поднялись. Возможно, что такое измерение удовлетворит и уровню требуемой точности.

Еще более тонкий физический эффект, проявляющийся с высотой, состоит в том, что по мере подъема мы удаляемся от центра Земли, а соответственно, при этом некоторым образом уменьшается и сила тяжести. Измерить уменьшение ускорения свободного падения с высотой теоретически можно с помощью эффекта замедления колебаний маятника, однако, достичь требуемой точности подручными средствами едва ли возможно.

Наиболее «продвинутые» школьники предлагали не мучаться вычислениями, а воспользоваться космическими навигационными системами («взять GPS»).

Кроме того, в условии задачи помимо всяких разнообразных способов измерения высоты требовалось указать и наиболее простой. По мнению Андрея Михайловича Романова, проще всего определить высоту ГЗ МГУ можно, если заметить, что все здание представляет собой по форме пирамиду с углом у основания 45 градусов. Убедиться в этом можно с помощью карандаша на вытянутой руке, гладя, например, со смотровой площадки. Соответственно, высота от основания до верхушки шпиля со звездой равна точно половине длины главного фасада здания, которое нетрудно измерить шагами.

К наиболее типичным ошибкам, возникшим при решении задачи, можно отнести следующие: можно рассматривать ближайший к МГУ фонарный столб; сравнить МГУ с Останкинской башней; можно скинуть большую катушку ниток; сфотографировать так, чтобы все влезло; рассчитать площадь здания и количество стройматериалов; проползти с линейкой от начала до конца здания; мерить, когда здание строится; прищурив взгляд, пальцем замерить высоту здания; взять монетку, чтобы ее размер совпадал со зданием; посчитать количество кирпичей по вертикали; высотку можно измерить из космоса по отбрасываемым теням.

ТЕГИ: Как измерить высоту Главного Здания, Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова,Главное Здание МГУ на Воробьевых горах, Доктор физико-математических наук, главный специалист Отделения физических наук Российской академии наук, Андрей Михайлович Романов, высота Главного здания МГУ, высотку можно измерить из космоса по отбрасываемым теням